Le cercle en termes de géométrie euclidienne est ce que la langue française désigne comme un rond. Il est à ne pas confondre avec le disque qui présente des caractéristiques tout à fait différentes. Pour calculer l’aire d’un cercle il suffit d’appliquer la formule dictée par la géométrie. Du moment que l’on est sûr de se trouver face à un cercle. Nous allons justement voir ensemble les caractéristiques notables du cercle pour le reconnaître à coup sûr, ainsi que ses différences avec le disque. Et enfin, calculez l’aire d’un cercle de façon tout à fait simple et accessible. A vos crayons !
Surface d'un cercle = π R
L’aire du cercle
La formule de l’aire du cercle sonne en général une complication dans la vie des étudiants de second cycle qui commencent alors à voir pointer le bout de son nez le nombre pi et sa valeur de 3,14 suivi d’une suite interminable de chiffres après la virgule. Ce nombre forfaitaire, à la limite de l’arbitraire, s’invite dans la vie des formules arithmétiques destinées à donner des informations et à élucider des problèmes sur les polygones et autres formes géométriques. Ainsi donc, l’aire du cercle est donc déterminée en partie par ce mystérieux nombre pi (dont le symbole est π ). La formule demeure par contre simple, et à savoir par cœur. Elle se présente donc en : Aire du cercle = pi x rayon².
Déterminer le rayon
Le rayon d’un cercle est à ne pas confondre avec son diamètre. En effet, le diamètre d’un cercle est le double de la valeur du rayon. C’est bien simple, l’on sait que pour déterminer l’une des caractéristiques d’un cercle, il faut que son centre parfait soit équidistant avec chacun des points de sa ligne. Si l’on prend ce point central, appelé O, il reste en permanence à même distance d’un point A et d’un point B, posés indifféremment sur toute la circonférence du cercle. Plus simplement, l’on peut tracer une droite d’un bout à l’autre du cercle pour prendre des mesures plus facilement.
Donc, ce point O a une importance toute particulière. En effet, si l’on considère le segment AO, il représente le rayon. Une distance balayée depuis le centre sur toute la surface du cercle. AO est aussi égal à OB puisque nous avons vu que le centre du cercle est équidistant des côtés. Quant au diamètre, il est le double puisque il est symbolisé par la longueur AB, en passant par O, que celle-ci soit droite ou non d’ailleurs. Le rayon est donc : Rayon = r = AO = OB. Et le diamètre est donc : Diamètre = d = AB = AO + OB = r + r (ou « 2 x r », ce qui revient au même puisque l’on sait que r à une valeur identique dans les deux cas.
Prenons l’exemple d’un cercle, sur lequel nous traçons une droite en son centre parfait. Au milieu de cette médiane, l’on note le point O. Si la médiane, d’un bout à l’autre du cercle, de A à B, mesure 10 cm, alors le segment AO mesure 5 cm, et le segment OB mesure également 5 cm. Cela, où que se trouvent les points A et B sur la circonférence du cercle. Dans ce cadre, le diamètre est donc de 10 cm et le rayon est donc de 5 cm. Nous pouvons utiliser plusieurs formules pour vérifier et retrouver le même résultat de façons différentes.
Voilà, nous connaissons désormais le rayon de notre cercle.
Application de la formule
Passons maintenant à un peu de pratique pure en géométrie. Si vous calculez l’aire d’un cercle, et que vous connaissez le rayon, vous n’avez plus qu’à appliquer :
- Aire du cercle = π x rayon²
- A = 3,14 x 5²
- A = 3,14 x 25
- A = 78,5
L’aire du cercle est donc de 78,5 cm².
Attention à la formulation, il s’agit bien de rayon au carré et non pas de deux fois le rayon, ou encore rayon plus rayon. La seule bonne façon de faire est de multiplier le rayon par le rayon. Ici nous avions un rayon de 5 cm, qui, multiplié par lui-même (5 x 5), nous donne le nombre 25.
Sébastien
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